＜高校数学＞確率

ある事柄の起こりやすさの度合いを数値で表した物を、その事柄の起こる確率という。また，次のように表すことができる。

事象の確率

\[ P(A)= \frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数} \]

ここで、起こりうる場合の数において和の法則と積の法則がある。

和の法則

2つの事柄A、Bは同時に起こらないとする。Aの起こり方が \( a \) 通りあり、Bの起こり方が \( b \) 通りあるとき、AまたはBの起こる場合は \( (a+b) \) 通りあると表せる。

積の法則

事象Aの起こり方が \( a \) 通りあり、そのどの場合についても事象Bの起こり方が \( b \) 通りずつあるとき、AとBがともに起こる場合は、 \( (a×b) \) 通りあると表せる。

また，場合の数の数え方として順列、円順列、組合せがある。

順列

異なる \( n \) 個のものから異なる \( r \) 個を取り出して1列に並べたものを、 \( n \) 個から \( r \) 個取る順列といい、その総数を \( nP_r \) と表す。

\[ nP_r = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) \]

※ここで \( n(n-1)(n-2)…(n-r+1) \) は \( n \) から始まる \( r \) 個の数の積である。

また，これより

\[ nP_n = n! = n(n-1)(n-2)…3・2・1 \]

となる。

※ここで、"！"は"階乗"といい、ある正の整数から1までの整数の積を表す。例えば， 4! は

\[　4!=4×3×2×1=24　\]である。

円順列

物を円形に並べる順列を円順列という。円順列では、回転して並びが同じになるものは同じ並び方とみなすので、異なる \( n \) この円順列の総数は， \( (n-1)! \) と表せる。

組合せ

異なる \( n \) 個のものから異なる \( r \) 個を取り出して、順列を考えないで1組にしたものを、 \( n \) 個から \( r \) 個取る組合せといい、その総数を \( nC_r \) で表す。

\[ nC_r = \frac{nP_r}{r!} = \frac{n(n-1)(n-2)…(n-r+1)}{r(r-1)…3・2・1} \]