＜高校数学＞微分

\( y \)が\( x \) の関数であることを、\[ y=f(x) \] のように表すことがある。 \( f(x) \) は変数 \( x \) に関する式であることを強調している式である。

中学校の範囲で学習した、変化の割合について考えていく。

\[ （変化の割合）=\frac{y の増加量}{x の増加量} \]　　

関数 \( y=f(x) \) において、 \( x　\) の値が \( a　\) から \( b　\) まで変化したときの変化の割合は、

\[ （変化の割合）=\frac{y の増加量}{xの増加量} \]

\[ = \frac{f(b)−f(a)}{b-a} \]

さらに， \( b　\) は \( a　\) から \( h　\) だけ増加したとすると、式では \( b=a+h　\) と表すことができ、変化の割合は、

\[ （変化の割合）=\frac{y の増加量}{x の増加量} \]

\[ 　　= \frac{f(a+h)−f(a)}{h} \]

このとき、\(　h \) を0に近づけていくと、変化の割合は、曲線 \(　y=f(x) \) において、1点で交わる接線へと近づいていく。この1点を点 \(　P \) とすると、点 \(　P \) は曲線 \(　y=f(x) \) における接点となる。

点 \(　p(a, f(a) ) \) における、接線の傾きを \[ f'(a) \] と表し、これを微分係数という。また、微分係数 \( f'(a) \) は「 \( h \) を0に限りなく近づけたとき( \( \lim_{h \to 0} \))の「変化の割合 \( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) 」なので、

\[ f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

というような式で表すことができる。

ここで、先ほどの微分係数 \( f'(a) \)の \( a \) を \( x \) に変えた関数を導関数とよぶ。

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

つまり、 \( f(x) \) を微分すると、 \( f'(x) \) になり、 \( f'(x) \) に \( x=a \) を代入したものが曲線 \( y=f(x) \) における1点（ある点 \( (a, f(a)) \) ）における接線の傾きとなる。

たくさんの \( f(x) \) を微分して \( f'(x) \) を求めてみると、次のような公式を導くことができる。ただし、 \( n \) は正の整数とし、 \( k \) は定数とする。

\[ f(x)=x^n の時、f'(x)=nx^{n−1} \]

\[ f(x)=kの時、f'(x)=0 \]

\[ f(x)=x^{-n}の時、f'(x)=−nx^{-n-1} \]

三角関数においても微分することができ、次のような公式を導くことができる。

\[ f(x)=\sin x の時、f'(x)=\cos x \]

\[ f(x)=\cos x の時、f'(x)=-\sin x \]

\[ f(x)=\tan x の時、f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} 　　(\cos x≠0) \]

対数関数においても微分することができ、次のような公式を導くことができる。ここで，自然対数（ネイピア数） \( e \) を底とする対数関数を，自然対数といい、　\( e \) を省略して \( y=\log x \) と表すことが多い。

\[ （ \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e = 2.718271... ） \]

\[ f(x) = \log x の時、f'(x)= \frac{1}{x}　　(x>0) \]