＜高校数学＞三角関数

直角三角形ABCにおいて、

正弦（サイン） \[ sinθ = \frac{a}{c} \]

余弦（コサイン） \[ cosθ = \frac{b}{c} \]

正接（タンジェント） \[ tanθ = \frac{a}{b} \]

これらをまとめて三角比という。

　また、 \( \frac{sinθ}{cosθ} \)の値を求めると、\( \frac{a}{b} \)と等しくなることから、 \( tanθ=\frac{sinθ}{cosθ} \) の関係が成り立つ。

　そして、この\( sinθ, cosθ, tanθ \) をまとめて θ の三角関数という。（「三角比」を一般角の範囲に拡張したものを三角関数ともいう。

　座標平面上に、原点Oを中心とする半径1の円（これを単位円という）をかいて、三角関数の値を求めることができる。まず、下のように，単位円上に点\( P(x, y) \) を取ります。この時、点\( A（1，0） \)、 \( ∠ AOP＝ θ \)となる。

上の図で、 \(sinθ=\frac{y}{1}=y \)となり， \(sinθ \) は「点Pの y 座標」と値が等しくなる。また、 \(cosθ=\frac{x}{1}=x \) となり、 \( cosθ \) は「点Pの x 座標」と値が等しくなる。さらに、これらのことから、 \( tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{y}{x} \)となる。

また、\( sinθ=y, cosθ=x \) で、点\(　P（x, y） \)は単位円上にあることから、 \(　−1 ≦ sinθ ≦ 1 , −1 ≦ cosθ ≦1 \) が成り立つ。

角 \( θ \)は\( 360°（=2π） \)回転すると、元の位置に戻る。さらに、2回転、3回転、…しても \( θ \) は元の位置に戻ることから、 \( n \) を整数として、 \( n \) 回転したとすると次の式が成り立つ。

\( sin(θ+2nπ) = sinθ,　cos(θ+2nπ) \)

\( = cosθ,　tan(θ+2nπ) = tanθ \)

同様に考えると，それぞれ次のような式が成り立つ。

\( sin(-θ) = -sinθ \)

\( cos(-θ) = cosθ \)

\( tan(-θ) = -tan(θ) \)

\( sin(θ+π) = -sinθ \)

\( cos(θ+π) = -cosθ \)

\( tan(θ+π) = tanθ \)

\( sin(θ+\frac{π}{2}) = cosθ \)

\( cos(θ+\frac{π}{2}) = -sinθ \)

\( tan(θ+\frac{π}{2}) = -\frac{1}{tanθ} \)

加法定理

\(sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ \)

\(cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ \)

\(tan(α±β) = \frac{tanα±tanβ}{1 ∓ tanαtanβ} \)

2倍角の公式

\(sin2α = 2sinαcosα \)

\(cos2α = cos^2α - sin^2α = 1−2sin^2α = 2cos^2α−1 \)

\(tan2α=\frac{2tanα}{1−tan^2α} \)