＜中学校数学＞平方根（ルート）

\[ 3^2=9 \]

の関係において，3は9の平方根という。つまり，16の平方根は，4と−4となる。これをあわせて±4と表すこともできる。

ここで，7の平方根は根号\[ \sqrt{\quad} \]を用いて，\[ ±\sqrt{7} \]と表す。この時，\[ \sqrt{7} \]をルート7という。

（1）表し方のルール

正の数aについて，

\[ (\sqrt{a})^2=a,(-\sqrt{a})^2=a \]

という関係が成り立つ。

また，正の数a,bについて，

\[ a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b} \]

が成り立つ。例えば，

\[ \sqrt{18}=\sqrt{3^2×2}=3\sqrt{2} \]

となる。このようにルートの中の数は，なるべく小さい数で表す。

（2）四則計算

乗法・除法は次のように計算することができる。

\[ \sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{5×2}=\sqrt{10} \]

\[ \sqrt{21}÷\sqrt{3}=\sqrt{21÷3}=\sqrt{7} \]

また，分母にルートを含む数は，分母と分子に同じ数をかけて，分母にルートを含まない形に変形する。このことを，「分母を有理化する」という。

\[ \frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2×\sqrt{7}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7} \]

ルートの部分が同じ数は，文字式の同類項と同じように，計算することができる。

加法・減法

\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3+5)\sqrt{2}=8\sqrt{2} \]

\[ 5\sqrt{7}-\sqrt{7}=(5-1)\sqrt{7}=4\sqrt{7} \]